1. 데이터의 유형

스칼라(Scalar) : 숫자 하나로 이루어진 데이터

벡터(Vector) : 여러개의 숫자가 특정 순서로 모여있는 데이터 하나를 의미

행렬(Matrix) : 여러 데이터가 합쳐저 쌓여있는 형태

예를 들어,

x(철수) = [철수의 몸무게, 철수의 키, 철수의 성별,......] → 벡터(Vector)

특정 철수라는 데이터 하나(x)는 몸무게, 키, 성별 등 특징을 가진다. → 철수라는 데이터 하나, 특징의 갯수 = 차원의 수
즉, 위 예시는 3차원 벡터이다.

from sklearn.datasets import load_digits

digits = load_digits()
samples = [0, 10, 20, 30, 1, 11, 21, 31]
d = []
for i in range(8):
    d.append(digits.images[samples[i]])

plt.figure(figsize=(8, 2))
for i in range(8):
    plt.subplot(1, 8, i + 1)
    plt.imshow(d[i], interpolation='nearest', cmap=plt.cm.bone_r)
    plt.grid(False); plt.xticks([]); plt.yticks([])
    plt.title("image {}".format(i + 1))
plt.tight_layout()
plt.show()

위의 이미지를 1열로 쫙 펴면 아래와 같다.

v = []

for i in range(8):
    v.append(d[i].reshape(64, 1)) # reshape으로 한줄로 펴준다.
    
plt.figure(figsize=(10, 8))
for i in range(8):
    plt.subplot(1, 8, i + 1)
    plt.imshow(v[i], aspect=0.4,
               interpolation='nearest', cmap=plt.cm.bone_r)
    plt.grid(False); plt.xticks([]); plt.yticks([])
    plt.title("image {} vector".format(i + 1))
plt.tight_layout(w_pad=7)
plt.show()

해당 이미지의 특징들의 값을 한줄로 쭉 펼친 것이다.

2. Linear Combination(선형 조합) 과 내적(inner Product, dot product)

: 선형조합은 벡터/행렬에 다음처럼 스칼라 값을 곱한 후 더하거나 뺀 것을 말한다.
: 벡터의 선형조합의 경우, 내적의 형태로 표현이 가능하다.
: 벡터간 내적이 가능하려면, 두 벡터의 길이가 같아야하고
: 앞 벡터는 행벡터(Transpose 형태), 뒷 벡터는 열벡터여야한다.
: 이렇게 되면, 두 벡터 내적의 결과는 스칼라 값이 나온다.
: -(row vector) x |(column vector)형태의 내적 결과는 스칼라, |(column vector)x -(row vector)형태의 내적 결과는 행렬이 된다.

# 2차원 배열로 표시된 벡터의 내적
x = np.array([[1], [2], [3]])
y = np.array([[4], [5], [6]])
np.dot(x.T, y) # Transpose를 해줘야한다.

# 출력 : array([[32]])

# 1차원 배열로 표시된 벡터의 내적
x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([4, 5, 6])
np.dot(x, y) # 앞의 벡터 x를 행벡터로 가정한다. Transpose할 필요가 없다.

# 출력 : 32

이미지로 보는 Linear Combination(선형조합)

from sklearn.datasets import fetch_olivetti_faces
faces = fetch_olivetti_faces()

f, ax = plt.subplots(1, 3,figsize=(10,5))
ax[0].imshow(faces.images[0])
ax[0].grid(False)
ax[0].set_xticks([])
ax[0].set_yticks([])
ax[0].set_title("image 1: x1")
ax[1].imshow(faces.images[10])
ax[1].grid(False)
ax[1].set_xticks([])
ax[1].set_yticks([])
ax[1].set_title("image 2: x2")
ax[2].imshow(0.6 * faces.images[0] + 0.4 * faces.images[10])
ax[2].grid(False)
ax[2].set_xticks([])
ax[2].set_yticks([])
ax[2].set_title("image 3: 0.6x1 + 0.4x2")
plt.show()